Контроль методом однократной выборки

Метод однократной выборки заключается в следующем. Из партии объемом ^отбираются случайным образом для испытаний п(п < N ) изделий. Если число обнаруженных дефектных изделий среди п ис­пытанных равно d (я) ^ г, где г — целое число, называемое приемоч­ным, то партия принимается. Если же d (я) > г, то партия бракуется. Следовательно, планы типа однократной выборки характеризуются двумя параметрами — объемом выборки я и приемочным числом г.

По результатам контроля надежности может приниматься одно из следующих трех решений:

1) принять оставшуюся часть партии без дальнейшего контроля;

2) отвергнуть оставшуюся непроверенной часть партии без конт­роля;

3) провести сплошной контроль оставшейся части партии, раз­делив таким образом изделия на годные и дефектные, и принять год­ные.

Предположим, что выборочный контроль производится на боль­ших партиях изделий, так что распределение отказов в выборочной партии хорошо аппроксимируется биномиальным распределением. На практике такое допущение оправдано при объеме выборки п > 0,1 N. Если обозначить через q долю дефектных изделий в партии, то опера­тивная характеристика плана контроля, основанного на однократной выборке n(q), определится по формуле

я(?) = £ Ctf (1 — q)n~‘, (11.32)

/=0

где г — максимально допустимое число дефектных изделий в выбор­ке, при появлении которого партия еще принимается (приемочное число); q — доля дефектных изделий в партии; С‘п — число сочетаний из п по /.

Соотношение (11.32), строго говоря, справедливо в предполо­жении, что партии изделий бесконечно велики. Однако теория бес­конечно больших партий довольно хорошо применима и к сравни­тельно малым партиям. Но для числа дефектов х в выборке размером п из партии, содержащей N изделий, из которых D дефектных изделий, более точным является не биномиальное, а гипергеометрическое рас­пределение. Вероятность получить х дефектных изделий в выборке объемом п в этом случае определяется из следующих соображений.

Поскольку число дефектных изделий в партии равно D, то х де­фектных изделий могут быть выбраны СЪ способами. Оставшиеся в выборке (п — х ) изделий являются годными и могут быть выбраны из общей совокупности (N — D) способами, число которых равно Cl7*D. Следовательно, выборка может быть сформирована в составе х де­фектных и (п — х ) годных изделий С^СдГ^п способами. Независимо от числа х дефектных изделий выборка объемом п из партии в jV эле­ментов может быть сформирована CXN способами. Полагая, что при формировании выборки элементы отбираются случайным образом, что обеспечивает равную вероятность любого состава выборки из Сдг возможных, вероятность получить х дефектных изделий в выборке размером п можно определить по формуле

ад = ед-.ус;. (11.33)

Если по-прежнему обозначить q = D/N и учесть, что D = Nq, то

оперативная характеристика при выборочном контроле малых партий изделий определится формулой

х=0

Вообще говоря, учет конечных размеров партий (точная теория) приводит к несколько меньшему риску заказчика в сравнении с тем, который был определен на основании биномиального распределе­ния. Это объясняется тем, что оперативные характеристики планов выборочного контроля, основанные на гипергеометрическом распре­делении, имеют большую крутизну в средней части, чем основан­ные на биномиальном распределении. Это показано на рис. 11.13.

Следовательно, риски заказчика и изготовителя при использовании гипергеометрического распределения несколько меньше, чем соот­ветствующие риски, определяемые с помощью приближенной тео­рии.

Следует отметить, что оперативная характеристика для гипергео­метрического распределения в действительности определена на мно­жестве дискретных точек с абсциссами 0; /N 2/Лг;…; (N — 1 )/N 1. Это значит, что точное определение величины <72> соответствующей

риску заказчика Р, по уравнению л (<72) = Р невозможно. Как прави­ло, в этих случаях используют соответствующие интерполяционные формулы. Обычно считается, что точную теорию следует привлекать тогда, когда размер выборки не превышает 10—25% партии. Однако эти рекомендации также зависят от требований к точности оператив­ной характеристики.

Учитывая, что виды контроля, основанные на однократной вы­борке, характеризуются только двумя параметрами — объемом вы­борки п и приемочным числом г — и оба эти параметра связаны единой функциональной зависимостью вида (11.32), на оперативной характеристике может быть указана только одна независимая точка, по которой может производиться контроль надежности. В качестве этой точки может быть выбрано значение qy числа дефектных изделий в партии или значение этой же величины, равное q2 (см. рис. 11.12). В первом случае планы выборочного контроля основываются на за­данном риске изготовителя а, во втором случае — на заданном риске потребителя р.

Большинство лиц, не занимающихся статистикой, интерпрети­руют как приемочный уровень качества и полагают, что если они установили, например, ^ = 0,01, то в результате контроля получают продукцию, в которой относительное число дефектных изделий близко к 0,01. В действительности, например при п = 5 и г = 0, вероят­ность приемки партии с числом дефектных изделий q = 0,01 равна 0,95. При q = 0,05 вероятность приемки партии равна 0,75. Следова­тельно, контроль методом однократной выборки, основанный на за­дании риска изготовителя а, не является приемлемым, так как не гарантирует от поступления в эксплуатацию партий с большим чис­лом дефектных изделий.

При реализации планов с заданным уровнем (1 интересы заказчи­ка обеспечиваются очень просто. Можно ввести величину q2 такую, при которой партия с числом дефектных изделий q’tqi почти навер­няка будет забракована (мала вероятность (1). Устанавливая величину q2, заказчик имеет возможность избавиться от продукции неприем­лемого качества.

Большинство видов контроля при методе однократной выборки основано на установлении величины q2. В этом случае основное со­отношение между величинами q2 и р определяется через вероятность

приемки партии n(q) и имеет вид я(#2) = Р • Далее, так как п(q) является монотонно убывающей функцией величины q, то для партий с качеством q3 ниже качества q2 (q3 > q2) имеет место соотношение

тс (^3) с р. Графическое изображение метода однократной выборки

представлено на рис. 11.14. В планах метода однократной выборки величина q2 устанавливается таким образом, чтобы качество прини­маемой продукции с большой вероятностью было выше q2.

Из изложенного выше следует, что между величинами qy и q2 существует определенная взаимосвязь, если фиксированы размеры
выборки л и приемочное число г. Эта взаимосвязь устанавливается на основе расчетов по приведенным выше оперативным характерис­тикам при одних и тех же значениях рисков а и р, а также одинако­вых значениях N, п, г.